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Sabías que… Cómo sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones

Cómo sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones

Aritmética de fracciones

Cuando intentan realizar operaciones aritméticas básicas con fracciones, muchas personas tienen dificultades ya que, a primera vista, las reglas habituales de la aritmética no parecen aplicarse. En este artículo, veremos cómo sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones, así como también veremos por qué funcionan estos métodos.

Cómo sumar fracciones

Lo primero que debemos poder hacer con las fracciones es sumarlas. Este es con el que la mayoría de la gente lucha y el que parece menos lógico. Comenzaremos observando una simple suma de fracciones usando imágenes.

Intentemos 1/3 + 1/3.

Ejemplo de suma 1: suma de 1/3 y 1/3

Mirando la imagen de arriba, podemos ver que al sumar 1/3 del primer rectángulo y 1/3 del segundo rectángulo, terminamos con 2/3. Todo lo que ha sucedido aquí es que hemos sumado los numeradores (los números de arriba) mientras mantenemos el denominador (el número de abajo) igual.

1/3 + 1/3 = (1+1)/3 = 2/3

Si empezamos con dos denominadores idénticos, este método siempre funciona. Para recordarlo, trata de decirlo en voz alta. Si tiene un tercio, agregue otro tercio, debe tener dos tercios, exactamente de la misma manera que un plátano y un plátano hacen dos plátanos. ¡Solo resiste la tentación de sumar los denominadores!

Del mismo modo 2/9 + 4/9 = (2+4)/9 = 6/9 y así sucesivamente.

Esto es genial, pero ¿qué pasa cuando los denominadores son diferentes?

Ejemplo de suma 2: suma de 1/2 y 1/4

Podemos ver rápidamente en la imagen de arriba que 1/2 + 1/4 = 3/4. Esto parece simple cuando se nos proporciona una imagen para ayudarnos, pero ¿cómo encontramos esta respuesta sin hacer un dibujo? La respuesta está en fracciones equivalentes.

Al mirar el cuadrado de la izquierda arriba, podemos ver que 1/2 = 2/4. Estas son fracciones equivalentes ya que son exactamente del mismo tamaño, pero escritas con números diferentes. Para convertir rápidamente una fracción en una fracción equivalente, simplemente multiplicamos el numerador y el denominador por la misma cantidad. En este ejemplo, multiplicamos arriba y abajo por 2 para convertir 1/2 en 2/4.

Nuestra suma ahora cambia de 1/2 + 1/4 a 2/4 + 1/4. Ahora podemos ver cuántos cuartos tenemos sumando los numeradores, pero manteniendo el denominador igual que antes.

2/4 + 1/4 = (2+1)/4 = 3/4

Este método funciona para todas las fracciones. Igualamos los denominadores usando fracciones equivalentes y luego sumamos los nuevos numeradores sobre este denominador.

Adición Ejemplo 3 – 2/5 + 1/6

En la imagen de arriba, puedes ver que ahora estamos intentando una suma más difícil, 2/5 + 1/6, pero aún usando el mismo método para convertir las fracciones en fracciones equivalentes con el mismo denominador.

La mejor manera de convertir los denominadores es buscar el mínimo común múltiplo de ambos denominadores originales. En este caso, tenemos 5 y 6, y el múltiplo común más bajo de estos es 30 (el número más pequeño que está en las tablas de multiplicar del 5 y del 6).

Ahora podemos convertir nuestras fracciones multiplicando la parte superior e inferior por el número necesario para convertir la parte inferior en 30. En este caso multiplicaremos el 2/5 por 6 arriba y abajo, y el 1/6 por 5 arriba y abajo.

2/5 → 2×6 / 5×6 = 12/30 y 1/6 → 1×5 / 6×5 = 5/30

Podemos ver en la imagen de arriba que 2/5 de hecho es igual a 12/30 y también 1/6 = 5/30.

Ahora suma los numeradores como antes:

2/5 + 1/6 = 12/30 + 5/30 = 17/30

Ejemplo de suma 4 – 5/6 + 2/9

El mínimo común múltiplo de 6 y 9 es 18, por lo que convertiremos los denominadores a 18.

5/6 = 5×3 / 6×3 = 15/18

2/9 = 2×2 / 9×2 = 4/18

5/6 + 2/9 = 15/18 + 4/18 = 19/18

Cómo restar fracciones

Restar fracciones funciona de manera casi idéntica a sumar, excepto que esta vez restamos el segundo numerador del primero.

Resta Ejemplo 1 – 5/9 − 2/9

Al igual que con nuestro primer ejemplo de adición anterior, piense en esta pregunta en voz alta. Tenemos 5 de algo y estamos restando 2 de ellos, por lo que debemos terminar con 3 de ellos. Esto se puede ver en la imagen de arriba.

Al igual que sumar, mantenemos el mismo denominador.

5/9 − 2/9 = (5−2) / 9 = 3/9

Resta Ejemplo 2 – 5/6 − 2/3

Ahora tenemos un ejemplo con dos fracciones con diferentes denominadores. Nuevamente, podemos actuar como con la suma de fracciones y usar nuestras fracciones equivalentes para hacer que los denominadores sean iguales. Como 3 cabe en 6, solo necesitamos convertir la segunda fracción.

2/3 = 2×2 / 3×2 = 4/6

Por lo tanto

5/6 − 2/3 = 5/6 − 4/6 = (5−4)/6 = 1/6

Resta Ejemplo 3 – 7/8 − 5/12

Comencemos convirtiendo los denominadores. El mínimo común múltiplo de 8 y 12 es 24, por lo que comenzaremos multiplicando la parte superior e inferior de la primera fracción por 3 y la segunda fracción por 2 para que nuestros denominadores sean iguales.

7/8 = 7×3/8×3 = 21/24

5/12 = 5×2/12×2 = 10/24

Ahora podemos restar:

7/8 − 5/12 = 21/24 − 10/24 = 11/24

Ejemplo de resta 4 – 6 − 3/5 (Restar fracciones de números enteros)

Para restar una fracción de un número entero, primero debemos convertir el número entero en una fracción con el mismo denominador. Empezamos escribiendo nuestro número entero en forma de fracción con 1 como denominador y luego convirtiéndolo en una fracción equivalente como antes.

6 = 6/1 = 6×5 / 1×5 = 30/5

Ahora podemos restar como antes:

6 − 3/5 = 30/5 − 3/5 = 27/5

Tenga en cuenta que haríamos lo mismo con el número entero si también estuviéramos tratando con una fracción menos un número entero.

Cómo multiplicar fracciones

La multiplicación de fracciones es probablemente la más fácil de las cuatro. Cuando usamos la palabra ‘veces’, como en 2/3 por 4/5, podemos pensar que esto significa ‘de’, y así obtenemos 2/3 de 4/5.

Para calcular esto, hacemos exactamente lo que el instinto nos dice que hagamos; multiplicar los numeradores juntos y multiplicar los denominadores juntos.

Ejemplo de multiplicación 1 – 2/3 × 4/5

Completemos el ejemplo anterior, 2/3 × 4/5. Multiplicaremos los numeradores 2 y 4 juntos, y lo pondremos arriba del producto de los denominadores 3 y 5.

2/3 × 4/5 = 2 × 4 / 3 × 5 = 8/15

Ejemplo de multiplicación 2 – 5/8 × 2/9

Simplemente multiplica los numeradores 5 y 2, y multiplica los denominadores 8 y 9.

5/8 × 2/9 = 5 × 2 / 8 × 9 = 10/72 = 5/36

En este ejemplo, hemos simplificado nuestra respuesta al notar que 10 y 72 son pares y, por lo tanto, múltiplos de 2. Podemos dividir numerador y denominador por 2 para obtener la fracción equivalente 5/36. Como 5 y 36 no comparten más factores (aparte de 1), no podemos simplificar más.

Multiplicación 3 – 2/5 × 4 (Multiplicación de fracciones y números enteros)

Para multiplicar una fracción por un número entero, piensa en el número entero como una fracción. Cualquier número entero se puede convertir en una fracción de sí mismo sobre 1. Por ejemplo, 7 = 7/1, 39 = 39/1 y así sucesivamente.

Al hacer esto y seguir nuestro método, podemos ver que el número entero multiplicará el numerador, mientras que el denominador permanecerá igual, ya que efectivamente se multiplica por 1.

2/5 × 4 = 2 × 4 / 5 = 8/5

Cómo dividir fracciones

Dividir fracciones es extraño, pero el método en sí es bastante simple.

Para empezar, piensa en lo que sucede cuando dividimos por una fracción unitaria (1/n).

Si dividimos 6 entre 1/3 estamos diciendo cuantos tercios hay en 6. Como hay 3 tercios en 1, debe haber 6 × 3 = 18 tercios en 6. Terminamos multiplicando 6 por el denominador, 3, para obtener nuestra respuesta. Con un poco de reflexión podemos ver que esto siempre debe ser el caso; para dividir por 1/n, multiplicamos por n.

Si nuestra fracción tiene un numerador distinto de 1, debe entrar en nuestro primer número menos veces (ya que ahora es mayor que 1/n). Si el numerador es el doble de grande, irá a la mitad de veces; si es tres veces más grande, irá en un tercio de frecuencia y así sucesivamente. Nuevamente podemos expandir esto para ver que debemos dividir por el numerador.

Un método rápido para multiplicar por el denominador y dividir por el numerador es voltear la segunda fracción al revés y luego multiplicar usando nuestro método anterior.

División Ejemplo 1 – 2/5 ÷ 3/8

Volteamos la segunda fracción y multiplicamos:

2/5 ÷ 3/8 = 2/5 × 8/3 = 16/15

División Ejemplo 2 – 10/17 ÷ 1/2

10/17 ÷ 1/2 = 10/17 × 2/1 = 20/17

Ejemplo de división 3 – 6/13 ÷ 3 (Dividir una fracción por un número entero)

En este caso, solo necesitamos dividir el numerador por el número entero (piense en ello como si tomara seis elementos y los dividiera en tres partes).

6/13 ÷ 3 = 6÷3 / 13 = 2 /13

Si el numerador no se divide por el número entero, entonces tenemos que convertir el número entero en una fracción sobre 1, darle la vuelta y luego multiplicar como antes.

Ejemplo de división 4 – 5 ÷ 2/3 (Dividir un número entero por una fracción)

Para dividir un número entero por una fracción, convierta el número entero en una fracción sobre 1 como antes y use el método de división habitual.

5 ÷ 2/3 = 5/1 ÷ 2/3 = 5/1 × 3/2 = 5×3 / 1×2 = 15/2

Resumen

Ahora que hemos visto algunos ejemplos de aritmética de fracciones, recordemos los métodos utilizados.

Suma: use fracciones equivalentes para asegurarse de que los denominadores sean los mismos, agregue los nuevos numeradores y coloque el nuevo denominador.

Resta: como con la suma, pero restando los numeradores.

Multiplicación – Pon el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores.

División: voltee la segunda fracción al revés y luego multiplíquela como se indicó anteriormente.

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